巧学+方法=攻破直线与圆锥曲线综合问题

高考数学要想取得高分,考140以上的分数,那就必须突破压轴题。高考数学压轴题具有知识点多、综合性强、能力要求高等特点,但不管哪种特点都要求我们提高运用数学知识解决问题的能力。

如直线与圆锥曲线的综合问题就是高考数学常考的压轴题类型之一,此类问题有一定的难度,在高考中大部分都是以难题、压轴题的形式出现,考点主要涉及位置关系的判定、弦长问题、最值问题、轨迹问题、对称问题等。

同时直线与圆锥曲线的综合问题更加考查一个学生数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法掌握情况,这就要求我们具有一定的分析问题和解决问题的能力。

在解决直线与圆锥曲线的综合问题过程牵涉到大量的计算,这也对考生的计算能力提出更高要求。因此,今天老师就带大家一起学习直线与圆锥曲线的综合问题,分享一些解题策略。

首先,我们要知道直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。

其次当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”。

典型例题1:

研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数,但对于选择、填空题也可以利用几何条件,用数形结合的方法求解。

对于判定直线与圆锥曲线的位置关系时,我们通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)。

若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有:

Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交;

Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;

Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.

若a=0且b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点。

典型例题2:

最后大家一定要记住,解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法。

1、若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;

2、若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法。

在利用代数法解决最值与范围问题时要从以下五个方面考虑:

1、利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;

2、利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;

3、利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;

4、利用基本不等式求出参数的取值范围;

5、利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围。

直线与圆锥曲线的综合问题在高考中可以起到拉开考生“档次”的功能,体现高考选拔人才的作用,因此成了出卷老师眼中的香饽饽,希望大家好好掌握。

责编:殷海燕