吴国平:高考数学必考难点-数列求和的几种方法

数列问题一直是高考数学的重难点,深受出卷老师的青睐,可以说是每年高考数学必考的考点之一。虽然大家都知道高考数学数列的重要性,但很多同学对于这类问题,一直无从下手。

数列问题考查范围比较广泛,如数列的概念与简单表示法、数列的综合应用、数列求和等等,今天我们就来讲数列求和的解题技巧。

解决数列求和的方法,我们可以从以下两个方面入手。

一是一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和。

二是解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路:

1、转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成。

2、不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和。

典型例题1:

解决数列类求和问题,我们一定要分清楚以下两类问题:

一、公式法

1、如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式,注意等比数列公比q的取值情况要分q=1或q≠1。

2、一些常见数列的前n项和公式:

(1)1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2;

(2)1+3+5+7+…+2n-1=n2;

(3)2+4+6+8+…+2n=n2+n.

二、非等差、等比数列求和的常用方法

1、倒序相加法

如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,等差数列的前n项和即是用此法推导的。

2、分组转化求和法

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减。

3、错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,等比数列的前n项和就是用此法推导的。

4、裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。

典型例题2:

最后,对于解决数列类求和问题,大家一定要注意以下两点:

一、用错位相减法求和应注意:

(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式。

(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解。

二、利用裂项相消法求和应注意:

(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;

(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等。

责编:殷海燕